Ага, крайний правый коэффициент равен единице, затем следуют два нулевых коэффициента, потом единичный коэффициент… Короче говоря, получается следующее: 1x⁶ + 1x⁵ + 0x⁴ + 1x³+ 0x² + 0x + 1. По сути говоря, битовая строка «1101001» является одной из форм записи вышеуказанного полинома – ненаглядной с точки зрения неподготовленного человека, но удобной для машинной обработки. Постойте, но если 69h уже представляет собой полином, то в чем разница между сложением полиномов 69h и 27h и сложением целых чисел 69h и 27h?! Разница несомненно есть. Как еще показал Ницше: фактов нет, а есть одни лишь интерпретации. Интерпретация же чисел и полиномов различна, и математические операции над ними выполняются посовершенно независимым правилам.

Коэффициенты в полиномиальной арифметике строго типизированы и коэффициент при x^k имеет иной тип, нежели при x^m (конечно, при том условии, что k ≠ m).

А операции над числами различных типов категорически не допустимы! Все коэффициенты обрабатываются независимо, а возникающий при этом перенос в старший разряд (заем из старшего разряда) попросту не учитывается. Покажем это на примере сложения чисел 69h и 27h:

Листинг 1. Сложение, выполненное по правилам полиномиальной двоичной арифметики (слева) и сложение, выполненное по правилам обычной арифметики (справа)

 1101001 (69h)          1101001 (69h)

+0100111 (27h)          +0100111 (27h)

 -------                -------

 1001110 (4Eh)          10010000 (90h)

Простейшие расчеты показывают, что сложение полиномов по модулю два дает тот же самый результат, что их вычитание, и «волшебным» образом совпадает с битовой операцией XOR. Впрочем, совпадение с XOR – чистая случайность, но вот эквивалентность сложения и вычитания заставляет заново пересматривать привычную природу вещей, вспоминая задачки из серии «у Маши было одно яблоко, Петя отнял у нее его, затем ей подарили еще одно, спрашивается: сколько всего яблок у Маши осталось? А сколько у нее было бы, если бы первое яблоко осталось не отнятым?». С точки зрения арифметики по модулю два ответ: один и ноль соответственно. Да! Не отними бы Петя у Маши яблоко, 1 + 1 == 0 и бедная Маша вообще осталась бы ни с чем. Так что, мальчики, почаще отнимайте яблоки у девушек – учите их компьютерной грамотности!

Впрочем, мы отвлеклись. Вернемся к фиктивному члену x нашего полинома и его коэффициентам. Благодаря их типизации и отсутствию взаимных связей, мы можем осуществлять обработку сколь угодно длинных чисел, просто XOR составляющие их биты на потоке. Это и есть одно из тех достоинств полиномиальной арифметики, которые не видны с первого взгляда, но благодаря которым полиномиальная арифметика стала так широко распространена.